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求函数题思路已知抛物线的顶点坐标为(4,-1)与y轴交于点C(0,3),O是原点.(1)求这条抛物线的解析式.(2)设此抛物线与x轴的交点A、B(A在B的左边),问在y轴上是否存在点,使以O,B,P为
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更新时间:2024-03-29 06:43:20
问题描述:

求函数题思路

已知抛物线的顶点坐标为(4,-1)与y轴交于点C(0,3),O是原点.

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)设此抛物线与x轴的交点A、B(A在B的左边),问在y轴上是否存在点,使以O,B,P为顶点的三角形与ΔAOC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

安义臻回答:
  (1)由题意知,抛物线的顶点坐标为(4,-1)   设抛物线的解析式为y=a(x-4)^2-1   因为抛物线过点C(0,3),将代入解析式,得3=a(0-4)^2-1,4=16a,故a=1/4   代入得y=1/4(x-4)^2-1,即抛物线解析式为y=1/4x^2-2x+3.   (2)y=1/4x^2-2x+3,令y=0.   1/4x^2-2x+3=0,   x^2-8x+12=0   (x-2)(x-6)=0   ∴x1=2,x2=6   由题意知A在B的左边   所以A的坐标为(2,0),B的坐标为(6,0)   思路:   你自己画一个图就可以知道,∠AOC为直角;如果y轴上存在这样的P点∠POB肯定是也是一个直角.   根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.   现在已经有一个角相等了,只要证明直角的两边成比例好就了.   现在已知OA=2,OB=6,OC=3.   若ΔAOC~ΔPOB   则AO/PO=CO/BO,2/PO=3/6,则PO=4   P点可能以在x轴上方也可以在x轴下方,所以P点坐标为(0,4),(0,-4).   若ΔAOC~ΔBOP   则AO/BO=CO/PO,2/6=3/PO,则PO=9   P点可能以在x轴上方也可以在x轴下方,所以P点坐标为(0,9),(0,-9).   所以满足条件的P有四个分别为(0,4),(0,-4),(0,9),(0,-9).
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