已知直线L的方程为x=-2,且直线L与x轴交于点M,圆O：x^2+y^2=1与x轴交于AB两点1）过M点的直线L1交圆于PQ两点,且弧PQ恰为圆周的1/4,求直线L1的方程（2）求以L为准线,中心在原点,且与圆O恰有两个公共
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更新时间：2024-04-19 22:03:54
问题描述：
已知直线L的方程为x=-2,且直线L与x轴交于点M,圆O：x^2+y^2=1与x轴交于AB两点
1）过M点的直线L1交圆于PQ两点,且弧PQ恰为圆周的1/4,求直线L1的方程
（2）求以L为准线,中心在原点,且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程
⑶过M的切线交⑵中的椭圆于C,D两点,其中C,D在x轴上方,求线段CD的长.
马登哲回答：
(1)弧PQ恰为圆周的1/4
则OP垂直OQ
所以圆心O到直线的距离：1/√2（根号）即√2/2
设直线L1的方程
kx-y+2k=0
|0-0+2k|/√(1+k^2)=√2/2
得k=±1
直线L1的方程:y=x+2,或y=-x-2
(2)
a^2/c=2
b=1
a^2=b^2+c^2
所以a=√2,b=1,c=1
椭圆方程:x^2/2+y^2=1
马登哲回答：
（III）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为x22+y2=1，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，∴l2的方程为y=33(x+2)，代入椭圆x22+y2=1中，整理得5x2+8x+2=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=-85，x1x2=25．∴CD=(1+13)[(x1+x2)2-4x1x2]=43(6425-85)=452．
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